قابلية جمع متسلسلة فورييه المضاعفة بالطريقة (N,p,q,p ́,q ́ )(E,1,1)

عبد الهادي محمد كرزون محمد محمود عامر
قسم الرياضيات || كلية العلوم || جامعة البعث || سوريا

المقدمة: [1]
لتكن X ́ و X ́ ́ مجموعتين نعرّف عليهما القياسان μ ́ و μ ́ ́، نرمز لفضاءات الدوال ذات المربعات القابلة للمكاملة على هاتين المجموعتين بـ (L_2 ) ́ و (L_2 ) ́ ́ على الترتيب ونعتبر على الجداء X=X ́×X ́ ́ القياس μ=μ ́×μ ́ ́ ثم نرمز بـ L_2 لفضاء الدوال ذات المربعات القابلة للمكاملة على X المزوّد بالقياس μ. نعتبر دوال L_2 دوال ذات متغيرين.
مبرهنة: [1] إذا كانت {φ_m } و {ψ_n } جملتين متعامدتين ومتجانستين وتامتين في (L_2 ) ́ و (L_2 ) ́ ́ على الترتيب، فإن مجموعة كل الجداءات:
f_(m,n) (x,y)=φ_m (x) ψ_n (y)
جملة متعامدة ومتجانسة وتامة في L_2.
لنطبق هذه المبرهنة على بعض الجمل المتعامدة الملموسة. إذا اعتبرنا فضاء الدوال ذات متغيرين:
f(x,y) ; -π≤x,y≤π
ذات المربعات القابلة للمكاملة، نجد أنه توجد جملة متعامدة وتامة تتألف من جداءات كل عنصر من الجملة:
1,cos⁡mx,sin⁡mx (m=1,2,3,…)
في عنصر من الجملة:
1,cos⁡ny,sin⁡ny (m=1,2,3,…)
أي أنها تتألف من الدوال:
1,cos⁡mx,sin⁡mx,cos⁡ny,sin⁡ny,cos⁡mx.sin⁡ny,
cos⁡mx.cos⁡ny,sin⁡mx.sin⁡ny,sin⁡mx.cos⁡ny
وبالتالي تعطى متسلسلة فورييه المضاعفة لهذه الجملة بالعلاقة [2,3,4]:
f(u,v)~∑_(m=0)^∞▒∑_(n=0)^∞▒〖λ_(m,n) [α_(m,n) cos⁡mu cos⁡nv+β_(m,n) sin⁡mu cos⁡nv+γ_(m,n) cos⁡mu sin⁡nv+δ_(m,n) sin⁡mu sin⁡nv ] 〗
=∑_(m=0)^∞▒∑_(n=0)^∞▒〖λ_(m,n) A_(m,n) (u,v) 〗
حيث:
λ_0,0=1/4,λ_(m,0)=1/2;m>0,λ_(0,n)=1/2 ;n>0,λ_(m,n)=1 ;m,n>0
α_(m,n)=1/π^2 ∬_H▒〖f(u,v) cos⁡mu cos⁡nv dudv〗;m,n=0,1,2,….
β_(m,n)=1/π^2 ∬_H▒〖f(u,v) sin⁡mu cos⁡nv dudv〗;m,n=0,1,2,….
γ_(m,n)=1/π^2 ∬_H▒〖f(u,v) cos⁡mu sin⁡nv dudv〗;m,n=0,1,2,….
δ_(m,n)=1/π^2 ∬_H▒〖f(u,v) sin⁡mu sin⁡nv dudv〗;m,n=0,1,2,….
ولتكن{p_m } و{q_n } و {p ́_m } و{q ́_n } متتاليات حقيقية موجبة متناقصة، تحقق:
P_m=p_0+p_1+⋯+p_m=∑_(i=0)^m▒p_i →∞ ; (m→∞)
Q_n=q_0+q_1+⋯+q_m=∑_(i=0)^m▒q_i →∞ ; (m→∞)
R_m=R(m)=p_0 q_m+p_1 q_(m-1)+⋯+p_m q_0=∑_(i=0)^m▒〖p_i q_(m-i) 〗→∞ ; (m→∞)
P ́_n=p ́_0+p ́_1+⋯+p ́_n=∑_(j=0)^n▒p ́_j →∞ ; (n→∞)
Q ́_n=q ́_0+q ́_1+⋯+q ́_n=∑_(j=0)^n▒q ́_j →∞(n→∞)
R ́_n=P ́(n)=p ́_0 q ́_n+p ́_1 q ́_(n-1)+⋯+p ́_n q ́_0=∑_(j=0)^n▒p ́_j q ́_(n-j)→∞ ; (n→∞)
R_σ=R_[1/s] =R(1/s)=∑_(i=0)^σ▒〖p_(m-i) q_i 〗
R ́_τ=R ́_[1/t] =R ́(1/t)=∑_(j=0)^τ▒〖p ́_(n-j) q ́_j 〗
τ=[1/t] دالة الجزء الصحيح لـ 1/t ،σ=[1/s] دالة الجزء الصحيح لـ 1/s.
مشكلة البحث:
تباعد متسلسلات فورييه المضاعفة وعدم كفاءة الطرائق المفردة في إيجاد مجموع بعض هذه المتسلسلات واقتصار الدراسات السابقة على دراسة قابلية جمع متسلسلة فورييه ومرافقتها باستخدام جداء طريقتين مفردتين بمتغير واحد فقط.
مواد البحث وطرائقه:
يعد نوع الدراسة في هذا البحث من حيث الاستعمال جزء مرتبط بأطروحة دكتوراه تتحدث عن قابلية جمع متسلسلات فورييه باستخدام جداء طرائق قابلية الجمع البسيطة والمضاعفة، معتمدين في ذلك على أسلوب التفكير الاستقرائي، وهو بحث كامل تفسيري من حيث النشاط والمراد من هذا البحث تعميم النتائج التي تم الحصول عليها في حالة متسلسلة فورييه بمتغير واحد، إلى حالة متسلسلة فورييه بمتغيرين، من خلال إثبات مبرهنة حول قابلية جمع هذه المتسلسلة باستخدام جداء طريقة نيورلند المعممة المضاعفة بطريقة أولر المضاعفة. ومن أهم أدوات هذا البحث الملاحظة البسيطة وبعض التعميمات والإسقاطات، إضافة إلى المصادر والوثائق المختلفة.
تعريف (1) > [5,6,7] طريقة نيورلند المعممة(N,p,q)< :
تكون المتسلسلة ∑_(k=0)^∞▒u_k جموعية وفق طريقة نيورلند المعممة (N,p,q) إلى
المجموع A إذا كان: (lim)┬(m→∞)⁡〖t_m^((N,p,q) ) 〗=A حيث إن:
t_m^((N,p,q) )=1/R_m ∑_(i=0)^m▒〖p_(m-i) q_i 〗 s_i
والمتتالية S_n=∑_(k=0)^n▒u_k هي متتالية المجاميع الجزئية للمتسلسلة ∑_(k=0)^∞▒u_k
ونكتب عندئذٍ: ∑_(k=0)^∞▒u_k =A(N,p,q).
وبشكل مشابه نعرف طريقة نيورلند المعممة المضاعفة (N,p,q,p ́,q ́ ) وفق التحويل الآتي:
t_(m,n)^((N,p,q,p ́,q ́ ) )=1/(R_m R ́_n ) ∑_(i=0)^m▒〖∑_(j=0)^n▒〖p_(m-i) q_i 〗 p ́_(n-j) 〗 q ́_j s_(i,j)
تعريف (2)> [5,8,9] طريقة أولر<(E,1):تكون المتسلسلة ∑_(k=0)^∞▒u_k جموعية وفق طريقة أولر إلى المجموع A إذاكان (lim)┬(n→∞)⁡〖t_n^((E,1)) 〗=A حيث إن:
t_n^((E,1))=1/2^n ∑_(k=0)^n▒(■(n@k))S_k
والمتتاليةS_n=∑_(k=0)^n▒u_k هي متتالية المجاميع الجزئية للمتسلسلة ∑_(k=0)^∞▒u_k ونكتب عندئذٍ: ∑_(k=0)^∞▒u_k =A (E,1)
وبشكل مشابه نعرف طريقة أولر المضاعفة (E,1,1) وفق التحويل الآتي:
t_(m,n)^((E,1,1) )=1/(2^m 2^n ) ∑_(i=0)^m▒〖∑_(j=0)^n▒(■(m@i)) (■(n@j)) 〗 s_(i,j)
بينما يعرف تحويل جداء الطريقتين: (N,p,q,p ́,q ́ )، (E,1,1) كما يلي:
t_(m,n)^(N,p,q,p ́,q ́ )(E,1,1) =1/(R_m R ́_n ) ∑_(i=0)^m▒〖∑_(j=0)^n▒〖p_(m-i) q_i 〗 p ́_(n-j) 〗 q ́_j t_(i,j)^((E,1,1) )
=1/(R_m R ́_n ) ∑_(i=0)^m▒〖∑_(j=0)^n▒〖p_(m-i) q_i 〗 p ́_(n-j) 〗 q ́_j 1/(2^i 2^j ) ∑_(k=0)^i▒〖∑_(l=0)^j▒(■(i@k)) (■(j@l)) 〗 s_(k,l)
ولنكتب العلاقات المفيدة الآتية:
ϕ(u,v)=ϕ(x,y;u,v)=
f(x+u,y+v)+f(x+u,y-v)+f(x-u,y+v)+f(x-u,y-v)-4f(x,y)
Φ(x,y)=∫_0^x▒∫_0^y▒|ϕ(s,t)|dsdt
Φ_1 (x,t)=∫_0^x▒|ϕ(s,t)|ds ,Φ_2 (s,y)=∫_0^y▒|ϕ(s,t)|dt
M_m (s)=1/(2πR_m ) ∑_(i=0)^m▒〖p_(m-i) q_i (〖cos〗^m (s/2) sin⁡(i+1)(s/2))/sin⁡〖s/2〗 〗
N_n (t)=1/(2πR ́_n ) ∑_(j=0)^n▒〖p ́_(n-j) q ́_j (〖cos〗^n (t/2) sin⁡(j+1)(t/2))/sin⁡〖t/2〗 〗
تعريف [10,11]: نقول عن طريقة في قابلية الجمع إنها نظامية إذا أدى تطبيقها على متسلسلة متقاربة إلى مجموع هذه المتسلسلة المعتاد.
ومن الواضح أن الطريقة المضاعفة (N,p,q,p ́,q ́ )(E,1,1)نظامية، حيث إن طريقة أولر: (E,1,1) نظامية دائماً، وسنعتبر طريقة نيورلند المعممة:(N,p,q,p ́,q ́ ) هي طريقة نظامية في هذا البحث.
إن الطريقة (N,p,q,p ́,q ́ )(E,1,1) نظامية لأن:
lim┬(m,n⟶∞)⁡〖S_(m,n) 〗=S⟹lim┬(m,n→∞)⁡〖t_(m,n)^((E,1,1) ) 〗=S
حيث إن الطريقة (E,1,1) نظامية، وبفرض: t_(m,n)^((E,1,1) )=S ́_(m,n) يكون:
(lim)┬(m,n⟶∞)⁡〖t_(m,n)^(N,p,q,p ́,q ́ )(E,1,1) 〗=(lim)┬(m,n→∞)⁡〖1/(R_m R ́_n ) ∑_(i=0)^m▒〖∑_(j=0)^n▒〖p_(m-i) q_i 〗 p ́_(n-j) 〗 q ́_j t_(i,j)^((E,1,1) ) 〗=(lim)┬(m,n→∞)⁡〖1/(R_m R ́_n ) ∑_(i=0)^m▒〖∑_(j=0)^n▒〖p_(m-i) q_i 〗 p ́_(n-j) 〗 q ́_j S ́_(i,j) 〗=(lim)┬(m,n⟶∞)⁡〖t ́_(m,n)^((N,p,q,p ́,q ́ ) ) 〗=S
حيث إن (lim)┬(m,n→∞)⁡〖S ́_(m,n) 〗=(lim)┬(m,n→∞)⁡〖t_(m,n)^((E,1,1) ) 〗=S والطريقة (N,p,q,p ́,q ́ ) نظامية.
ملاحظة: [7] تكون طريقة نيورلند المعممة (N,p,q) نظامية إذا تحقق ما يلي :
(lim)┬(n→∞)⁡〖(p_(n-k) q_k)/R_n =0〗 ,|∑_(k=0)^n▒〖p_(n-k) q_k 〗|<H|R_n |
حيث H عدد موجب مستقل عن n .
وبالتالي تكون طريقة نيورلند المعممة المضاعفة (N,p,q,p ́,q ́ ) نظامية إذا تحقق ما يلي:
(lim)┬(m→∞)⁡〖(p_(m-i) q_i)/R_m =(lim)┬(n→∞)⁡〖(p ́_(n-j) q ́_j)/R ́_n 〗=0〗
|∑_(i=0)^m▒〖p_(m-i) q_i 〗|<H_1 |R_m | ,|∑_(j=0)^n▒〖p ́_(n-j) q ́_j 〗|<H_2 |R ́_n |
حيث إن:H_1 و H_2 عددين موجبين مستقلين عن m و n على الترتيب.
النتائج: مبرهنة أساسية:
لتكن{p_m } و{q_n } و {p ́_m } و{q ́_n } متتاليات حقيقية موجبة متناقصة، ولنضع:
Φ(x,y)=∫_0^x▒∫_0^y▒|ϕ(s,t)|dsdt=o(x/α(1/x) y/β(1/y) )
∫_0^π▒〖Φ_1 (x,t)dt〗=o(x/α(1/x) ) ;x→+0
∫_0^π▒〖Φ_2 (s,y)ds〗=o(y/β(1/y) );y→+0
وα(x) وβ(y) دوال موجبة متزايدة تماماً تحقق:
(lim)┬(m→∞) α(m)=∞ ,(lim)┬(n→∞) β(n)=∞
(lim)┬(m→∞)⁡∫_1^m▒〖R_[s] /sα(s) ds〗=O(R_m ), (lim)┬(n→∞)⁡∫_1^n▒〖R ́_[t] /tβ(t) dt〗=O(R ́_n )
عندئذٍ فإن متسلسلة فورييه المضاعفة ∑_(m=0)^∞▒∑_(n=0)^∞▒〖λ_(m,n) A_(m,n) (u,v) 〗 تكون قابلة للجمع بالطريقة المضاعفة (N,p,q,p ́,q ́ )(E,1,1) إلى الدالة: f(x,y).
تمهيديات [5]: لإثبات المبرهنة نحتاج التمهيديات الآتية:
تمهيدية (1): M_m (s)=O(m) ;0<s≤1/m
تمهيدية (2): N_n (t)=O(n) ;0<t≤1/n
تمهيدية (3): M_m (s)=O(R_σ/(sR_m )) ;0<1/m<s≤π
تمهيدية (4): N_n (t)=O(R ́_τ/(tR ́_n )) ;0<1/n<t≤π
المناقشة: إثبات المبرهنة: من المعلوم أن متتالية المجاميع الجزئية لمتسلسلة فورييه المضاعفة تأخذ الشكل [2,3]:
s_(m,n) (x,y)=f(x,y)+1/π^2 ∫_0^π▒∫_0^π▒〖ϕ(s,t) sin⁡(m+1/2)s/sin⁡〖s/2〗 sin⁡(n+1/2)t/sin⁡〖t/2〗 dsdt〗
عندئذٍ:
E_(m,n)^1,1 (x,y)=t_(m,n)^((E,1,1) ) (x,y)=1/(2^m 2^n ) ∑_(i=0)^m▒∑_(j=0)^n▒〖(■(m@i))(■(n@j)) s_(i,j) 〗
=f(x,y)+1/(4π^2 2^m 2^n ) ∫_0^π▒∫_0^π▒〖ϕ(s,t)/(sin⁡〖s/2〗 sin⁡〖t/2〗 )×{∑_(i=0)^m▒∑_(j=0)^n▒〖(■(m@i))(■(n@j)) sin⁡(i+1/2)s sin⁡(j+1/2)t 〗} 〗 dsdt
=f(x,y)+1/(4π^2 ) ∫_0^π▒∫_0^π▒〖ϕ(s,t) (〖cos〗^m (s/2) sin⁡(m+1)(s/2))/sin⁡〖s/2〗 (〖cos〗^n (t/2) sin⁡(n+1)(t/2))/sin⁡〖t/2〗 〗 dsdt
حيث إن: ∑_(i=0)^m▒〖(■(m@i)) sin⁡(i+1/2)s 〗=2^m 〖cos〗^m (s/2) sin⁡(m+1)(s/2)
∑_(i=0)^m▒∑_(j=0)^n▒〖(■(m@i))(■(n@j)) sin⁡(i+1/2)s sin⁡〖(j+1/2)t=〗 〗
2^m 2^n 〖cos〗^m (s/2) sin⁡(m+1)(s/2) 〖cos〗^n (t/2) sin⁡(n+1)(t/2)
t_(m,n)^(N,p,q,p ́,q ́ )(E,1,1) (x,y)=f(x,y)+
1/(4π^2 ) ∫_0^π▒∫_0^π▒〖1/(R_m R ́_n ) ∑_(i=0)^m▒∑_(j=0)^n▒〖p_(m-i) q_i p ́_(n-j) q ́_j ϕ(s,t) (〖cos〗^m (s/2) sin⁡(m+1)(s/2))/sin⁡〖s/2〗 (〖cos〗^n (t/2) sin⁡(n+1)(t/2))/sin⁡〖t/2〗 〗〗 dsdt
إذا أثبتنا أن: t_(m,n)^(N,p,q,p ́,q ́ )(E,1,1) (x,y)-f(x,y)=o(1) ;m→∞,n→∞ يتم المطلوب.
لدينا:
t_(m,n)^(N,p,q,p ́,q ́ )(E,1,1) (x,y)-f(x,y)=
=(∫_0^δ▒∫_0^ξ+∫_0^δ▒∫_ξ^π+∫_δ^π▒∫_0^ξ+∫_δ^π▒∫_ξ^π)ϕ(s,t) M_m (s) N_n (t)dsdt
=I_1+I_2+I_3+I_4
I_1=(∫_0^(1/m)▒∫_0^(1/n)+∫_(1/m)^δ▒∫_0^(1/n)+∫_0^(1/m)▒∫_(1/n)^ξ+∫_(1/m)^δ▒∫_(1/n)^ξ)ϕ(s,t) M_m (s) N_n (t)dsdt
=I_1.1+I_1.2+I_1.3+I_1.4
حيث إنه، من أجل 0<s≤δ<1 ,0<t≤ξ<1، وباستخدام التمهيديتين(1) و(2) يكون:
I_1.1=O(mn) ∫_0^(1/m)▒∫_0^(1/n)▒|ϕ(s,t)|dsdt=O(mn) Φ(1/m,1/n)
=O(mn)o(1/mnα(m)β(n) )=o(1) ;m→∞,n→∞
I_1.2≤|I_1.2 |≤∫_(1/m)^δ▒∫_0^(1/n)▒|ϕ(s,t)||M_m (s)||N_n (t)|dsdt
≤∫_0^(1/n)▒|N_n (t)|dt ∫_(1/m)^δ▒〖|ϕ(s,t)| R(1/s)/(sR_m ) ds〗=∫_0^(1/n)▒O(n)dt ∫_(1/m)^δ▒〖|ϕ(s,t)| R(1/s)/(sR_m ) ds〗=O(n)(∫_0^(1/n)▒dt ∫_(1/m)^δ▒〖|ϕ(s,t)| R(1/s)/(sR_m ) ds〗)
نكامل بالتجزئة بالنسبة إلى s: u=R(1/s)/(sR_m ) ,dv=|ϕ(s,t)|ds، نجد أن:
=O(n) ∫_0^(1/n)▒〖R(1/s)/(δR_m ) Φ_1 (δ,t)dt〗+O(n) R_m/(1/m R_m ) ∫_0^(1/n)▒〖Φ_1 (1/m,t)dt〗
+O(n) ∫_0^(1/n)▒dt ∫_(1/m)^δ▒〖d/ds (R(1/s)/(sR_m ))|Φ_1 (s,t)|ds〗=∑_(k=0)^3▒I_(1.2.k)
I_1.2.1+I_1.2.2=O(n) 1/δ ∫_0^(1/n)▒〖Φ_1 (δ,t)dt〗+O(mn) ∫_0^(1/n)▒〖Φ_1 (1/m,t)dt〗=O(n) 1/δ Φ(δ,1/n)+O(mn)Φ(1/m,1/n)
=O(n) 1/δ o(δ/α(1/δ) 1/nβ(n) )+O(mn)o(1/mnα(m)β(n) )
=o(1)+o(1) ;m→∞,n→∞
حيث إن: ∫_0^(1/n)▒〖Φ_1 (s,t)dt〗=∫_0^(1/n)▒(∫_0^s▒ϕ(r,t)dr)dt=Φ(s,1/n)
I_1.2.3=O(n) ∫_0^(1/n)▒dt ∫_(1/m)^δ▒〖Φ_1 (s,t) R(1/s)/(s^2 R_m ) ds〗+O(n) ∫_0^(1/n)▒dt ∫_(1/m)^δ▒〖(Φ_1 (s,t))/s d/ds (R(1/s)/R_m )ds〗
≤O(n)(∫_(1/m)^δ▒〖(∫_0^(1/n)▒〖Φ_1 (s,t)dt〗) R(1/s)/(s^2 R_m ) ds〗)+O(n) ∫_(1/m)^δ▒〖(∫_0^(1/n)▒〖Φ_1 (s,t)dt〗) 1/s d/ds (R(1/s)/(s^2 R_m ))ds〗
لكن: ∫_0^(1/n)▒〖Φ_1 (s,t)dt〗=Φ(s,1/n)، وبالتالي فإن:
I_1.2.3=O(n) ∫_(1/m)^δ▒〖Φ(s,1/n) R(1/s)/(s^2 R_m ) ds〗+O(n) ∫_(1/m)^δ▒〖Φ(s,1/n) 1/s d/ds (R(1/s)/(s^2 R_m ))ds〗
=O(n) ∫_(1/m)^δ▒〖o(s/α(1/s) 1/nβ(n) ) R(1/s)/(s^2 R_m ) ds〗+O(n) ∫_(1/m)^δ▒〖o(s/α(1/s) 1/nβ(n) ) 1/s d/ds (R(1/s)/(s^2 R_m ))ds〗
=o(1/β(n) )(∫_(1/δ)^m▒〖R_[s] /(sα(s) R_m ) ds〗)+o(1/β(n) )(∫_(1/δ)^m▒〖1/α(s) d/ds (R_[s] /R_m )ds〗)
=o(1/β(n) )(∫_1^m▒〖R_[s] /(sα(s) R_m ) ds〗)+o(1/β(n) )(∫_1^m▒〖1/α(s) d/ds (R_[s] /R_m )ds〗)
=o(1/β(n) )O(1)+o(1/α(1)β(n) )(R(m)/R_m )
=o(1) ;m,n→∞
وبالتالي فإن: I_1.2=o(1) ;m,n→∞
بشكل مشابه نجد أيضاً أن: I_1.3=o(1) ;m,n→∞
الآن ومن التمهيديتين(3) و(4)، يكون لدينا: |I_1.4 |=O(∫_(1/m)^δ▒∫_(1/n)^ξ▒〖|ϕ(s,t)| R(1/s)/(sR_m ) (R ́(1/t))/(tR ́_n ) dtds〗)
نكامل بالتجزئة بالنسبة للمتحولين s و t، نفرض: u(s,t)=R(1/s)/(sR_m ) (R ́(1/t))/(tR ́_n )
⟹du(s,t)=d/ds (R(1/s)/(sR_m )) (R ́(1/t))/(tR ́_n ) ds+R(1/s)/(sR_m ).d/dt ((R ́(1/t))/(tR ́_n ))dt
∂^2/∂s∂t v(s,t)dsdt=|ϕ(s,t)|dtds⟹v(s,t)=Φ(s,t)
عندئذٍ:
|I_1.4 |=O((R(1/δ) R ́(1/ξ)Φ(δ,ξ))/(R_m R ́_n δξ)-(mR ́(1/ξ)Φ(1/m,ξ))/(R ́_n ξ)-(R ́(1/ξ))/(R ́_n ξ) ∫_(1/m)^δ▒〖Φ(s,ξ) d/ds (R(1/s)/(sR_m ))ds〗-nR(1/δ)Φ(δ,1/n)/(R_m δ)+mnΦ(1/m,1/n)+n∫_(1/m)^δ▒〖Φ(s,1/n) d/ds (R(1/s)/(sR_m ))ds〗+R(1/δ)/(R_m δ) ∫_(1/n)^ξ▒〖Φ(s,t) d/dt ((R ́(1/t))/(tR ́_n ))dt〗-m∫_(1/n)^ξ▒〖Φ(1/m,t) d/dt ((R ́(1/t))/(tR ́_n ))dt〗-∫_(1/m)^δ▒∫_(1/n)^ξ▒〖Φ(s,t) d/ds (R(1/s)/(sR_m )) d/dt ((R ́(1/t))/(tR ́_n ))dsdt〗)=∑_(k=1)^9▒I_(1.4.k)
I_1.4.1=O((R ́(1/ξ)R(1/δ)Φ(δ,ξ))/(R_m R ́_n δξ))=(R ́(1/ξ)R(1/δ))/(R_m R ́_n δξ) o(δ/α(1/δ) .ξ/β(1/ξ) )
=o((R ́(1/ξ)R(1/δ))/(R_m R ́_n α(1/δ)β(1/ξ) ))=o(1) ;m,n→∞
I_1.4.2=-O(-(mR ́(1/ξ)Φ(1/m,ξ))/(R ́_n ξ))=o(m (R ́(1/ξ))/R ́_n (1/mα(m) ξ/β(1/ξ) ))
=o((R ́(1/ξ))/R ́_n 1/α(m) ξ/β(1/ξ) )=o(1)(1/(R ́_n α(m) ))
=o(1) ;m,n→∞
الآن:
I_1.4.3=-(R ́(1/ξ))/(R ́_n ξ) ∫_(1/m)^δ▒〖Φ(s,ξ) d/ds (R(1/s)/(sR_m ))ds〗
=o((R ́(1/ξ))/(R ́_n ξ)) ∫_(1/m)^δ▒(s/α(1/s) ξ/β(1/ξ) )(R(1/s)/(s^2 R_m ))ds+o((R ́(1/ξ))/(R ́_n ξ)) ∫_(1/m)^δ▒〖o(s/α(1/s) ξ/β(1/ξ) ) 1/s d/ds (R(1/s)/R_m )ds〗
=o((R ́(1/ξ))/(R ́_n β(1/ξ) )) ∫_(1/m)^δ▒〖R(1/s)/(sα(1/s) R_m ) ds〗+o((R ́(1/ξ))/(R ́_n β(1/ξ) )) ∫_(1/m)^δ▒〖1/α(1/s) d/ds (R(1/s)/R_m )ds〗
=o((R ́(1/ξ))/(R ́_n β(1/ξ) )) ∫_(1/δ)^m▒〖R_[s] /(sα(s) R_m ) ds〗+o((R ́(1/ξ))/(R ́_n β(1/ξ) )) ∫_(1/δ)^m▒〖1/α(s) d(R_[s] /R_m ) 〗
=o((R ́(1/ξ))/(R ́_n β(1/ξ) ))O(1)+o((R ́(1/ξ))/(R ́_n β(1/ξ) ))O(1)=o(1) ;m,n→∞
وبالتالي نكون قد حصلنا على: I_1.4.3=o(1) ;m,n→∞
وبشكل مشابه يكون لدينا: I_1.4.4=o(1) ;m,n→∞
I_1.4.5=mnB_(n,n) A_(m,m) Φ(1/m,1/n)=o(mn 1/mnα(m)β(n) )
=o(1) ;m,n→∞
الآن: I_1.4.6=n∫_(1/m)^δ▒〖Φ(s,1/n) d/ds (R(1/s)/(sR_m ))ds〗
=n∫_(1/m)^δ▒〖Φ(s,1/n) R(1/s)/(s^2 R_m ) ds〗+n∫_(1/m)^δ▒〖Φ(s,1/n) 1/s d/ds (R(1/s)/R_m )ds〗
=n∫_(1/m)^δ▒〖o(s/α(1/s) 1/nβ(n) ) R(1/s)/(s^2 R_m ) ds〗+n∫_(1/m)^δ▒〖o(s/α(1/s) 1/nβ(n) ) 1/s d/ds (R(1/s)/R_m )ds〗
=o(1/β(n) ) ∫_(1/m)^δ▒〖R(1/s)/(sα(1/s) R_m ) ds〗+o(1/β(n) ) ∫_(1/m)^δ▒〖1/α(1/s) d/ds (R(1/s)/R_m )ds〗
=o(1) ;m,n→∞
وبشكل مشابه لإيجاد I_1.4.3، نجد أن: I_1.4.7=o(1) ;m,n→∞
أيضاً بشكل مشابه لإيجاد I_1.4.6، نجد أن: I_1.4.8=o(1) ;m,n→∞
وأخيراً:
I_1.4.9=O(∫_(1/m)^δ▒∫_(1/n)^ξ▒〖Φ(s,t) d/ds (R(1/s)/(sR_m )) d/dt ((R ́(1/t))/(tR ́_n ))dsdt〗)=O{∫_(1/m)^δ▒∫_(1/n)^ξ▒Φ(s,t)(R(1/s)/(s^2 R_m )+1/s d/ds (R(1/s)/R_m )) ×((R ́(1/t))/(t^2 R ́_n )+1/t d/dt (R ́(1/t))/R ́_n )dtds}=∑_(k=0)^4▒I_(1.4.9.k)
I_1.4.9.1=O(∫_(1/m)^δ▒∫_(1/n)^ξ▒Φ(s,t)(R(1/s)/(s^2 R_m ) (R ́(1/t))/(t^2 R ́_n ))dtds)
=o(∫_(1/m)^δ▒∫_(1/n)^ξ▒〖(s/α(1/s) t/β(1/t) ) R(1/s)/(s^2 R_m ) (R ́(1/t))/(t^2 R ́_n ) dtds〗)=o(∫_(1/m)^δ▒∫_(1/n)^ξ▒〖R(1/s)/(sα(1/s) R_m ) (R ́(1/t))/(tβ(1/t) R ́_n ) dtds〗)
=o(∫_(1/δ)^m▒〖R_[s] /(sα(s) R_m ) ds〗 ∫_(1/ξ)^n▒〖(R ́(1/t))/(tβ(t) R ́_n ) dt〗)=o(1) ; m,n→∞
I_1.4.9.2=O(∫_(1/m)^δ▒∫_(1/n)^ξ▒〖Φ(s,t) R(1/s)/(s^2 R_m ) 1/t d/dt ((R ́(1/t))/R ́_n )dtds〗)
=O(∫_(1/m)^δ▒∫_(1/n)^ξ▒〖o(s/α(1/s) t/β(1/t) ) R(1/s)/(s^2 R_m ) 1/t d/dt ((R ́(1/t))/R ́_n )dtds〗)
=o(∫_(1/m)^δ▒∫_(1/n)^ξ▒〖R(1/s)/(sα(1/s) R_m β(1/t) ) d/dt ((R ́(1/t))/R ́_n )dtds〗)=o(∫_(1/δ)^m▒〖R_[s] /(sα(s) R_m ) ds〗 ∫_(1/n)^ξ▒〖1/β(t) d/dt ((R ́(1/t))/R ́_n )dt〗)
=o(1) ∫_(1/n)^ξ▒〖O(1) d/dt (B_(n,[1/t] ) )dt〗=o(1) ;m,n→∞
بشكل مشابه نجد أن: I_1.4.9.3=o(1) ;m,n→∞
كما أن: I_1.4.9.4=O(∫_(1/m)^δ▒∫_(1/n)^ξ▒〖Φ(s,t) 1/s d/ds (R(1/s)/R_m ) 〗 1/t d/dt ((R ́(1/t))/R ́_n )dtds)
=o(∫_(1/m)^δ▒∫_(1/n)^ξ▒〖(s/α(1/s) t/β(1/t) ) 1/s d/ds (R(1/s)/R_m ) 〗 1/t d/dt ((R ́(1/t))/R ́_n )dtds)
=o(∫_(1/m)^δ▒∫_(1/n)^ξ▒〖(1/α(1/s)β(1/t) ) d/ds (R(1/s)/R_m ) 〗 d/dt ((R ́(1/t))/R ́_n )dtds)
=o(∫_(1/m)^δ▒〖1/α(1/s) d/ds (R(1/s)/R_m )ds〗 ∫_(1/n)^ξ▒〖1/β(1/t) d/dt ((R ́(1/t))/R ́_n )dt〗)
I_1.4.9.4=o(∫_(1/m)^δ▒〖o(1) d/ds (R(1/s)/R_m )ds〗 ∫_(1/n)^ξ▒〖o(1) d/dt ((R ́(1/t))/R ́_n )dt〗)
=o(1).[R(1/s)/R_m ] δ¦(1/m).[(R ́(1/t))/R ́_n ] ξ¦(1/n)=o(1) ;m,n→∞
وبالتالي فإن: I_1.4=o(1) ;m,n→∞
وبالتالي: I_1=o(1) ;m,n→∞
وبما أن: 1/m<δ<π ,1/n<ξ<π، فإن:
I_3≤|I_3 |≤∫_δ^π▒|M_m (s)|ds ∫_0^(1/n)▒|ϕ(s,t)||N_n (t)|dt+
+∫_δ^π▒|M_m (s)|ds ∫_(1/n)^ξ▒|ϕ(s,t)||N_n (t)|dt
=I_3.1+I_3.2
باستخدام التمهيديتين (2) و (3)، يكون:
I_3.1=O(∫_δ^π▒〖R(1/s)/(sR_m ) ds〗 ∫_0^(1/n)▒〖|ϕ(s,t)| 1/t dt〗)=O(n)(∫_δ^π▒〖R(1/s)/(sR_m ) ds〗 ∫_0^(1/n)▒|ϕ(s,t)|dt)
=O(n) ∫_0^π▒〖Φ_2 (s,1/n)ds〗=o(1/β(n) )=o(1) ;n→∞
ومن التمهيديتين (3) و(4)، يكون لدينا:
I_3.2=O(∫_δ^π▒〖R(1/s)/(sR_m ) ds〗 ∫_(1/n)^ξ▒〖|ϕ(s,t)| (R ́(1/t))/(tR ́_n ) dt〗)
نكامل بالتجزئة: u=(R ́(1/t))/(tR ́_n ),dv=|ϕ(s,t)|dt، فيكون:
I_3.2=O(∫_δ^π▒ds {Φ_2 (s,t)├ (R ́(1/t))/(tR ́_n )] ξ¦(1/n)-∫_(1/n)^ξ▒〖Φ_2 (s,t) d/dt ((R ́(1/t))/(tR ́_n ))dt〗})
=O[∫_δ^π▒ds {Φ_2 (s,ξ) (R ́(1/ξ))/(ξR ́_n )-Φ_2 (s,1/n)n}]+
+O[∫_δ^π▒ds ∫_(1/n)^ξ▒〖Φ_2 (s,t) d/dt ((R ́(1/t))/(tR ́_n ))dt〗] =O[∫_δ^π▒〖Φ_2 (s,ξ) (R ́(1/ξ))/(ξR ́_n ) ds〗]+O(n) ∫_δ^π▒〖Φ_2 (s,1/n)ds〗+
O[∫_δ^π▒ds ∫_(1/n)^ξ▒〖Φ_2 (s,t) d/dt ((R ́(1/t))/(tR ́_n ))dt〗] =O((R ́(1/ξ))/(ξR ́_n )) ∫_δ^π▒〖Φ_2 (s,ξ)ds〗+O(n)o(1/nβ(n) )+O[∫_δ^π▒ds ∫_(1/n)^ξ▒〖Φ_2 (s,t) d/dt ((R ́(1/t))/(tR ́_n ))dt〗] وبنفس الأسلوب المتبع في إيجاد I_1.4.9، نستطيع أن نكتب:
I_3.2=o(1)+o(1)+o(1)=o(1) ;m,n→∞
لذلك فإن: I_3=o(1) ;m,n→∞
وبالمثل نجد: I_2=o(1) ;m,n→∞
ومن الشروط النظامية للطريقة المضاعفة (N,p,q,p ́,q ́ )(E,1,1) وبالاستناد إلى مبرهنة ريمان-ليبيغ، يكون لدينا: I_4=o(1) ;m,n→∞ وهو المطلوب.
الخلاصة:
في هذا البحث قمنا بدراسة جداء طريقتين مضاعفتين من طرائق قابلية الجمع، وتمكنّا بواسطته من إيجاد مجموع تقريبي لمتسلسلة فورييه المضاعفة (الثنائية), علماً أن هذه المتسلسلة ليست متقاربة في الحالة العامة.
التوصيات:
نوصي بدراسة قابلية جمع مشتقات متسلسلات فورييه البسيطة والمضاعفة والثلاثية باستخدام جداء طرائق قابلة الجمع المختلفة، كطرائق سيزارو (C,α) وهولدر H^α ونيورلند (N,p_n) والطرائق التوافقية (H,k) وغيرها.
المراجع:
كولموغوروف. أ، فومين. س، مبادئ في نظرية التوابع وفي التحليل التابعي، تعريب أبو بكر خالد سعد الله، 1973.
S. Lal, ” Double Matrix Summability of Double Fourier Series “,Int. Journal of Math. Analysis,3,34, 1669-1681, 2009.
S. Lal, V. N. Tripathi, ” On The Study of Double Fourier Series By Double Matrix Summability Method “,Tamkang Journal of Mathematics,34,1,1-15, 2003.
Georgi P. Tolstov, Richard A. Silverman , Fourier Series, Dover Publications, INC. New York, 2012.
H. K. Nigam, A. Sharma, ” On (N,p,q)(E,1) Summability of Fourier Series”, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences,2009, 1-8, 2009.
B.P.Padhy, S.K.Buxi, U.K.Misra and M.Misra, ” on (N,p,q)(E,z) product summability of fourier series”, Asian Journal of Current Engineering and Maths, 1, 3, 159-161, 2012.
N.Singh, N.Sharma, ” On(N,p,q) Summability Factors of Infimite Series “, Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.),110, 1,61-68, 2000.
Tuncer Acar, S.A. Mohiuddine, ” Statistical (C,1)(E,1) Summability and Korovkin’s Theorem “,Published by Faculty of Sciences and Mathematics,30,2, 387-393, 2016.
H. K. Nigam, ” on (C,2)(E,1) product means of fourier series and its conjugate series”, Electronic Journal of Mathematical Analysis and Applications,1,2, 334-344, 2013.
وايدر دافيد، الحساب المتقدم، ترجمة الدكتور أنيس كنجو، 1981-1982.
كريزيك إيروين، مدخل إلى التحليل الدالي، ترجمة الدكتور خضر حامد الأحمد، 1985.

On Summability Of Double Fourier Series By (N,p,q,p ́,q ́ )(E,1,1)