The Generalized Thermodynamical Beltrami – Michell Tensorial Equations for the general Thermodynamical State of the Hooke Body

Waad Samir Attiah

Mountajab Al-Hasan

Faculty of Science || Al-Baath University || Homs || Syria

Tab title

This paper concerns the mathematical linear model of elastic, homogeneous and isotropic body, with no considerable structure and with infinitesimal elastic strains, subjected to Thermal effects, in the frame of coupled thermoelectrodynamics; discussed firstly by Hooke (in the isothermal case), and shortly called (H) . In the this paper, firstly we introduce the invariable tensorial traditional and Lame descriptions of the coupled dynamic, thermoelastic, homogeneous and isotropic Hooke body, which initial configuration forms a simply-connected region in the three dimensional euclidesian manifold. The news of this paper consist in deriving the invariable tensorial , generalized Beltrami – Michell stress-temperature equations for the (H) thermoelastic body (in the more general case than the thermal stress state), which initial configuration forms a simply-connected region in the three dimensional euclidesian manifold. Finally, we end the paper by suggesting problem for discussing, in addition to another open problem. Keywords: Hooke Thermodynamic Body, Linear Coupled Thermodynamics, the invariable tensorial generalized Beltrami – Michell stress-temperature equations for the general thermal case.

معادلات بيلترامي- ميشيل التنسورية الترموديناميكية المعممة لأجل الحالة الترموديناميكية العامة لجسم هوك

وعد سمير عطية

منتجب الحسن

كلية العلوم || جامعة البعث || حمص || سوريا

Tab title

موضوع البحث هو النموذج الرياضي التقليدي لجسم مرن متماثل المناحي ) Isotropic ( ومتجانس Homogeneous) (، وغير معتبر البنية الجزيئية ويخضع لانفعالات مرنة، لامتناهية في الصغر، وذلك في إطار المرونة الخطية الديناميكية، المترابطة مع حرارة، والمناقشة بدايةً من قبل الباحث هوك لأجل الحالة متساوية الحرارة، والذي يُرمز له اختصاراً بــالرمز (H). في البحث. في البداية سنعرض النموذج الرياضي التقليدي، التنسوري الصامد، ونموذج لامي الرياضي، التنسوري الصامد لجسم هوك المرن (H)، المتجانس، والمتماثل المناحي، في حالته الترموديناميكية التقليدية العامة. أما جديد البحث فهو مناقشة معادلات بيلترامي- ميشيل، التنسورية الصامدة، المعممة إلى الحالة الترموديناميكية )العامة( للجسم المرن (H). وبالنهاية تم اقتراح مسألة للمناقشة، إضافةً إلى مسألة مفتوحة. الكلمات المفتاحية: الجسم الديناميكي الحراري الخطاف، الديناميكا الحرارية المزدوجة الخطية، معادلات الثقل المعمم البلتريمي – ميشيل المعادية لدرجات حرارة الإجهاد للحالة الحرارية العامة.

مقدمة:

قام العديد من الباحثين بمناقشة النموذج الرياضي التقليدي، لجسم هوك والنموذج الرياضي لجسم مرن في نظرية العزوم Couple Stress Theory) ( وذلك بالشكل التنسوري الصامد. من هؤلاء الباحثين: غورتين (2010) وتروزديل (1984) ودروبوت (1971)، وليشيك (1970) وهينبوكيل (1996)]. في بحث الحسن وعطية (2019)، نوقش النموذج التنسوري التقليدي ونموذج لامي التنسوري لجسم هوك الترموديناميكي، المتجانس والمتماثل المناحي، وذلك بالشكلين الصامد والناطق في نظام احداثي منحني كيفي على المتنوعة الإقليدية ثلاثية البعد. يتعلق البحث بالجسم المرن غير معتبر البنية الجزيئية ويخضع لتشوهات مرنة لامتناهية في الصغير، والمتجانس والمتماثل المناحي والذي يملك ثلاث درجات حرية وثابتين ماديين والذي وضع أساسه الرياضي الباحث هوك )لأجل الحالة المتساوية درجات الحرارة(، والذي نرمز له اختصاراً بــ(H)، والذي يخضع لحقل حراري. أي يتعلق البحث بالمرونة الخطية الترموديناميكية، المتجانسة والمتماثلة المناحي، والمحددة بثابتين ماديين:. نفترض أن الحالة الابتدائية لهذا الجسم، هي منطقة بسيطة الترابط: في المتنوعة الإقليدية ثلاثية البعد. كما سنفترض أن جميع الحقول الفيزيائية التي تصف سلوك جسم هوك المرن (H)، هي مقاطع تنسورية، مركباتها توابع حقيقية ملساء بالقدر الكافي، تتبع لنقاطـ وللزمن، أيضاً.

في [1] (1984)، ناقش الباحث تروزديل، الشكل التنسوري الصامد لمعادلات بيلترامي- ميشيل، للحالة السكونية الحرارية، المرنة للجسم (H)، وهنا انطلق الباحث من الشكل التنسوري الصامد لمعادلات توافق الانفعالات. وفي [4] (2011)، ناقش الباحثان إغناتشاك وهيتنارسكي، ناقشوا الشكل التنسوري الصامد لمعادلات بيلترامي- ميشيل، المعممة إلى الحالة الترموديناميكية المرنة للجسم (H)، ذلك في الحالة الخاصة المتمثلة بالإجهادات الحرارية(). حيث انطلق الباحثون من معادلات لامي التنسورية الصامدة. وفي كل ماتقدم ذكره، تعامل الباحثون مع الحرارة على أنها كمية مفروضة، لا تحتاج إلى معادلة إضافية، ترتبط مع باقي المعادلات، حيث حل جملة المعادلات، الكلية، يعطي الإجهادات والحرارة.

هدف البحث:

يهدف البحث إلى استنتاج الشكل التنسوري الصامد لمعادلات الاجهادات والحرارة من نمط بيلترامي- ميشيل، لأجل الحالة الترموديناميكية التقليدية العامة للجسم المرن (H)، المتجانس، والمتماثل المناحي، والذي يشغل في لحظة البدء، المنطقة بسيطة الترابط في المتنوعة الاقليدية ثلاثية البعد.

3- طرق لبحث:

سنعتمد تعميم طريقة إغناتشاك وهيتنارسكي [4] (2011)، في إيجاد الشكل التنسوري الصامد لمعادلات بيلترامي- ميشيل، الترموديناميكية )العامة (للجسم الترموديناميكي المرن (H) ، المتجانس، والمتماثل المناحي، ويشغل في لحظة البدء المنطقة بسيطة الترابط في المتنوعة الاقليدية ثلاثية البعد.

من أجل متطلبات البحث، سنقدم فيما يلي، وبشكل مقتضب، كلاً من الشكل التنسوري التقليدي الصامد، وشكل لامي التنسوري الصامد للجسم الترموديناميكي المرن (H)، المتجانس والمتماثل المناحي، والخاضع لحرارة، والذي يشغل في لحظة البدء، المنطقة بسيطة الترابط في المتنوعة الاقليدية ثلاثية البعد [1,4,5,10