Approximaion Solution For Nonlinear Poisson Equation By Finite Element_Homotopy Method

Hiba Zakaria Aslan

Habib Solaiman Ali

Faculty of Science || Albaath University || Homs || Syria

Berlant Sabri Mattit

Faculty-Damascus University || Damascus || Syria

Tab title

The main aim to this research is to find the approximation solution of the nonlinear Poisson equation by combining the finite element method FEM with homotopy analysis method HAM in a single approximation method because the finite element method needs when applied to nonlinear partial differential equations either for iterative methods such as ( Newton_Gauss Method14, Picard Interative Method3, Newton_Galarkin Method4) or for other approximation method such as(B_Splain24, Homotopy Analysis6). In this article, the finite element method was combined with the Homotopy analysis method with one method called Homotopy _Finite Element Method FE_HM, to convert the nonlinear matter into a linear matter through the HAM method, and to overcome the engineering complexity of the region by a grid of finite elements through the FEM method, We obtained good results when applying this method to the nonlinear Poisson equation on Diriclet boundary condition, and this method was programmed through the Matlab program. Keywords: nonlinear Poisson equation, weight function, stiffness matrix, shape functions, Deformation equation.

الحل التقريبي لمعادلة بواسون غير الخطية بطريقة هوموتوبي_العناصر المنتهية FE_HM

هبه زكريا أصلان

حبيب سليمان علي

كلية العلوم || جامعة البعث || حمص || سوريا

برلنت صبري مطيط

كلية العلوم || جامعة دمشق || دمشق || سوريا

Tab title

إنَّ الهدف الرئيسي من هذا البحث هو إيجاد الحل التقريبي لمعادلة بواسون غير الخطية وذلك بدمج طريقة العناصر المنتهية FEM مع طريقة تحليل الهوموتوبي HAM بطريقة تقريبية واحدة, وذلك لأن طريقة العناصر المنتهية تحتاج عند تطبيقها على معادلات تفاضلية جزئية غير خطية إمّا لطرائق تكرارية مثل ( طريقة نيوتن_غاوس14, طريقة بيكارد التكرارية3, طريقة نيوتن_كالاركين4) أو لطرائق تقريبية أخرى مثل ( ب_سبلاين24, تحليل الهوموتوبي6,….). وفي مقالتنا هذه تم دمج طريقة العناصر المنتهية مع طريقة تحليل الهوموتوبي بطريقة واحدة اسمها طريقة هوموتوبي_العناصر المنتهية FE_HM, وذلك لتحويل المسألة غير الخطية إلى مسألة خطية من خلال طريقة HAM, وللتغلب على التعقيد الهندسي للمنطقة عن طريق شبكة من العناصر المنتهية من خلال طريقة FEM, وقد حصلنا على نتائج جيدة عند تطبيق هذه الطريقة على معادلة بواسون غير الخطية بشروط ديرخليه الحدية، وقد تم برمجة هذه الطريقة من خلال برنامج الماتلاب. الكلمات المفتاحية: معادلة بواسون غير الخطية, دالة الوزن, دوال الشكل, مصفوفات الصلابة, معادلة التشوه.

المقدمة:

تعود طريقة HAM إلى الرياضي الصيني Shijun Liao حيث قدمها في عام 1992 وقد كانت هذه الطريقة جزءاً من رسالة الدكتوراه لهذا العالم, وقد تم تعديلها فيما بعد لتحوي الوسيط , ومن الجدير بالذكر أن هذا الباحث كان له دور بارز في هذه الطريقة حيث عرض طريقته مع المبادئ الأساسية المتعلقة بها, إضافة إلى تطبيقها على عدة مسائل ذات أهمية في المجالات الهندسية والفيزياء[15,16,18] .

لقد أدرك الباحثون أهمية هذه الطريقة, وقدرتها على التعامل مع العديد من المسائل التي تتضمن معادلات تفاضلية, معادلات تكاملية, لذا فقد اهتموا بدراستها وتطبيقها على معادلات غير خطية, حيث إن هذه الطريقة تمتاز بقدرتها على تحويل المعادلات غير الخطية إلى معادلات خطية سهلة الحل وذلك بالاستفادة من مفهوم الهوموتوبي (تشوه دالة مستمرة إلى دالة أخرى), في التبولوجيا والهندسة التفاضلية, حيث تكمن أهمية طريقة HAM في قدرتها على استخدام الهوموتوبي, وتوظيفه في حل أصعب المسائل.

ففي عام 2006 استخدمت طريقة HAM لحل معادلات تفاضلية غير خطية في مجال الحرارة[1] , وفي عام 2010 تم تطبيق هذه الطريقة لحل معادلات تفاضلية ومعادلات تكاملية [25], وفي عام 2013 كان لهذه الطريقة دور في حل معادلة التلغراف [21], وفي عام 2015 استخدمت طريقة HAM لحساب القيم الذاتية لمسائل Sturm-Liouville [12], بينما ساهمت هذه الطريقة في عام 2016 في حل مسألة Bratu [10].

تعود طريقة العناصر المنتهيّة لعام 1909, عندما طوّر ريتزRitz طرائق الحل التقريبي لمسائل في ميكانيكا المواد الصلبة المشوهة, في عام 1943 زاد Richard Courant (1888-1972) من إمكانيات طريقة ريتز عن طريق إدخال دوال خطيّة خاصة معرّفة على مناطق مثلثيّة, وطبق هذه الطريقة في مسائل الفتل.

قُدمت طريقة العناصر المنتهية من قبل المهندسين في أواخر الخمسينيات وبداية ستينيات القرن العشرين, وذلك لإيجاد الحل العددي للمعادلات التفاضليّة الجزئيّة في الهندسة الهيكليّة, ثم بدأت الرياضيات بدراسة طريقة العناصر المنتهية في منتصف الستينيات وسرعان ما أصبحت هذه الطريقة هي تقنية عامة للحل العددي للمعادلات التفاضليّة الجزئيّة, ففي عام 1985 أدخل مفهوم العناصر المنتهية إلى الديناميكا المغناطيسية [9], وفي عام 1986 استخدمت في الميكانيكا الحرارية [11], وفي عام 1987 أصبحت مفهوماً مفيداً في المجالات الكهربائية والمغناطيسية [22], وتطورت طريقة العناصر المنتهية مع تقدم العلم والتكنولوجيا حتى تم استخدامها عام 1999 في بصريات الجسيمات المشحونة [13], وأدخلت إلى المجالات الهندسية المختلفة ففي عام 2001 بدأت الهندسة الكيميائية بتطبيق طريقة العناصر في مختلف فروعها [7], وفي عام 2003 طبقت هذه الطريقة في مجالات الكهرومغناطيسية [19,23], وسرعان ما أصبحت طريقة العناصر المنتهية طريقة أساسية في مناهج طلاب الهندسة في عام 2005 [2], و حتى المجالات الطبية أخذت هذه الطريقة واستعملتها في مختلف اختصاصاتها, ففي عام 2006 طبقت على معادلات تدفق الدم [5], وفي عام 2007 بدأ طب الأسنان في استخدام هذه الطريقة في زرع الأسنان [8], وفي عام 2012 كان لهذه الطريقة دور فعال في تكنولوجيا النانو[20], وفي عام 2013 ساهمت هذه الطريقة في عمليات تصنيع الآلات [17], وعلى الرغم من أن طريقة العناصر المنتهية احتلت مكانة عالية في التحليل العددي وإيجاد الحلول التقريبية إلا أنها ظلت مستمرة وفعالة في هذا الاختصاص إلى يومنا هذا.