WEAK and CO-WEAK BAER MODULES
Eaman Al-Khouja
Magd Alfakhory
Faculty of Science || Al-Baath University || Syria
Hamza Hakmi
Faculty of Science || Damascus University || Syria
Tab title The object of this paper is study the notions of weak Baer and weak Rickart rings and modules. We obtained many characterizations of weak Rickart rings and provide their properties. Relations ship between a weak Rickart (weak Baer) module and its endomorphism ring are studied. We proved that a weak Baer module with no infinite set of nonzero orthogonal idempotent elements in its endomorphism ring is precisely a Baer module. In addition, the endomorphism ring of a semi-projective weak Rickart module is semi-potent and the endomorphism ring of a semi-injective coweak Rickart module is semi-potent. Furthermore, we show that a free module is weak Baer if and only if its endomorphism ring is left weak Baer. Keywords: weak Baer ring, weak Baer module, weak Rickart ring, weak Rickart module, endomorphism ring, Annihilator.
Tab title
The object of this paper is study the notions of weak Baer and weak Rickart rings and modules. We obtained many characterizations of weak Rickart rings and provide their properties. Relations ship between a weak Rickart (weak Baer) module and its endomorphism ring are studied. We proved that a weak Baer module with no infinite set of nonzero orthogonal idempotent elements in its endomorphism ring is precisely a Baer module. In addition, the endomorphism ring of a semi-projective weak Rickart module is semi-potent and the endomorphism ring of a semi-injective coweak Rickart module is semi-potent. Furthermore, we show that a free module is weak Baer if and only if its endomorphism ring is left weak Baer. Keywords: weak Baer ring, weak Baer module, weak Rickart ring, weak Rickart module, endomorphism ring, Annihilator.
مــــــــودولات بييــــــر الضعــيفــــــة والضعــيفــــــة المــــرافــقـــــــة
إيمان الخوجة
مجد الفاخوري
كلية العلوم || جامعة البعث || سوريا
حمزة حاكمي
كلية العلوم || جامعة دمشق || سوريا
Tab title
الهدف من هذا البحث هو دراسة مفاهيم حلقات ومودولات بــــيـيـر الضعيفة وريكارت الضعيفة. لقد حصلنا على العديد من توصيفات حلقات ريكارت الضعيفة وقدمنا خصائصها. تمت دراسة العلاقة بين مودولات ريكارت الضعيفة (بيير الضعيفة) وحلقة الإندومورفيزمات الخاصة بها. لقد أثبتنا أن مودولات بيير الضعيفة التي تملك مجموعة غير منتهية من العناصر الجامدة المتعامدة غير الصفرية في حلقة الإندومورفيزمات الخاصة بها هي على وجه التحديد مودولات بيير. بالإضافة إلى ذلك، فإن حلقة الإندومورفيزمات الخاصة بمودولات ريكارت الضعيفة نصف الإسقاطية هي حلقة شبه جامدة وحلقة الإندومورفيزمات الخاصة بمودولات ريكارت المرافقة نصف الأفقية هي حلقة شبه جامدة. علاوة على ذلك، فقد بينا أن المودولات الحرة هي مودولات بيير الضعيفة إذا وفقط إذا كانت حلقة الإندومورفيزمات الخاصة بها هي حلقة بيير ضعيفة يسارية. الكلمات المفتاحية: حلقة بيير الضعيفة، مودول بيير الضعيف، حلقة ريكارت الضعيفة، مودول ريكارت الضعيف، حلقة الإندومورفيزمات، العادم.